SSC General math || ৯ম ও ১০ম শ্রেণির সাধারণত গণিত এর ২.১ অধ্যায় এর হ্যান্ড নোট
১. নিচের সেটগুলোকে তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ করঃ
ক) {x ∈ N : x2 > 9 এবং x2<130}
সমাধানঃ
আবার যেসব স্বাভাবিক সংখ্যার ঘন 130 অপেক্ষা ছোট সেগুলো হলো 1,2,3,4,5.
তাহলে, নির্ণেয় সেট={4,5}
খ) {x ∈ Z : x2>5 এবং x3≤36}
সমাধানঃ
গ) {x ∈ N : x, 36 এর গুণনীয়ক এবং 6 এর গুণিতক}
সমাধানঃ
ঘ) {x ∈ N : x3>25 এবং x4<264}
সমাধানঃ
কারণ,
∴নির্ণেয় সেট={2}
২. নিচের সেটগুলোকে সেট গঠন পদ্ধতিতে প্রকাশ করঃ
ক) {3,5,7,9,11}
সমাধানঃ
∴ A={x ∈ N : x, স্বাভাবিক বিজোড় সংখ্যা যেখানে, 3≤x≤11}
খ) {1,2,3,4,6,9,12,18,36}
সমাধানঃ
∴ A={x ∈ N : x, 36 এর গুণনীয়ক}
গ) {4,8,12,16,20,24,28,32,36,40}
সমাধানঃ
ঘ) {±4, ±5, ±6}
সমাধানঃ
∴ A={x ∈ Z : x2≥16 এবং x3≤216}
৩. A={2,3,4} এবং B={1,2,a} এবং C={2.a,b} হলে, নিচের সেটগুলো নির্ণয় করঃ
ক) B\C
সমাধানঃ
B\C
={1,2,a}\{2.a,b}
খ) A ∪ B
সমাধানঃ
A ∪ B
গ) A ∩ C
সমাধানঃ
A ∩ C
ঘ) A ∪ (B ∩ C)
সমাধানঃ
(B ∩ C)
∴A ∪ (B ∩ C)
ঙ) A ∩ (B ∪ C)
সমাধানঃ
(B ∪ C)
∴A ∩ (B ∪ C)
৪. U={1,2,3,4,5,6,7}, A={1,3,5}, B={2,4,6} এবং C={3,4,5,6,7} হলে, নিন্মলিখিত ক্ষেত্রে সত্যতা যাচাই করঃ
ক) (A ∪ B)’=A’ ∩ B’
সমাধানঃ
বামপক্ষ=(A ∪ B)’=U-( A ∪ B)
(U-B) {1,2,3,4,5,6,7}-{2,4,6}={1,3,5,7}
খ) (B ∩ C)’=B’ ∪ C’
সমাধানঃ
এখন, বামপক্ষ=(B ∩ C)’=U-(B ∩ C)
(U-B)= {1,2,3,4,5,6,7}-{2,4,6}={1,3,5,7)
(U-C)= {1,2,3,4,5,6,7}-{3,4,5,6,7}={1,2}
∴ (U-B) ∪(U-C)={1,3,5,7} ∪ {1,2}={1,2,3,5,7}
গ) (A ∪ B) ∩ C=(A ∩ C) ∪ (B ∩ C)
সমাধানঃ
বামপক্ষ=(A ∪ B) ∩ C
(B ∩ C)= {2,4,6} ∩ {3,4,5,6,7}={4,6}
ঘ) (A ∩ B) ∪ C=(A ∪ C) ∩ (B ∪ C)
সমাধানঃ
বামপক্ষ=(A ∩ B) ∪ C
যেখানে, A ∩ B={1,3,5} ∩ {2,4,6}={}
যেখানে, (A ∪ C)= {1,3,5}∪{3,4,5,6,7}={1,3,4,5,6,7}
অতএব, বামপক্ষ=ডানপক্ষ (প্রমাণিত)
৫. Q={x,y} এবং R={m,n,l} হলে, P(Q) এবং P(R) নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
∴P(Q)={{x,y),{x},{y},∅}
R={m,n,l}
∴ P(R)={{m,n,l},{m,n},{m,l},{n,l},{m},{n},{l},{∅}}
৬. A={a,b}, B={a,b,c} এবং C=A ∪ Bহলে, দেখাও যে, P(C) এর উপাদান সংখ্যা 2n ,যেখানে n হচ্ছে C এর উপাদান সংখ্যা।
সমাধানঃ
৭.
সমাধানঃ
x-1=y-2……………(a)
y+2=2x+1…………(b)
(a).. হতে,
x-1=y-2
বা, x=y-2+1
বা, x=y-1----------(c)
x এর মান (b) তে বসাই,
y+2=2(y-1)+1
বা, y+2=2y-2+1
বা, y+2=2y-1
বা, y-2y=-1-2
বা, -2y=-3
বা, y=3
y=3, (c) এ বসাই,
x=3-1=2
∴ (x,y)=(2,3)
খ) (ax-cy, a2-c2)=(0,ay-cx) হলে (x,y) এর মান নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
এখন,
ax-cy=0
বা, ax=cy
বা, a2-c2=(a2y-c2y)/a
বা, a2-c2=y(a2-c2)/a
বা, 1=y/a
বা, a=y
বা, y=a এই মান (1) নং এ বসাই,
ax-ca=0
বা, ax=ca
গ) (6x-y,13)=(1,3x+2y) হলে, (x,y) নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
3x+2y=13…………..(2)
(1) কে 2 দ্বারা গুণ করে পাই..
(2)+(3) করে পাই,
বা, x=15/15
বা, x=1 এই মান (1) নং এ বসিয়ে পাই,
6✕1-y=1
বা, -y=1-6
বা, -y=-5
বা, y=5
∴ (x,y)=(1,5)
৮.
সমাধানঃ
তাহলে,
খ) A={3,4,5}, B={4,5,6} এবং C={x,y} হলে, (A ∩ B)✕C নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
∴ (A ∩ B)✕C={4,5}✕{x,y}={(4,x),(4,y),(5,x),(5,y)}
গ) P={3,5,7}, Q={5,7} এবং R=P\Q হলে, (P ∪ Q)✕R নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
∴ R=P\Q={3,5,7}\{5,7}={3}
৯. A ও B যথাক্রমে 35 এবং 45 এর সকল গুণনীয়কের সেট হলে, A ∪ B ও A ∩ Bনির্ণয় কর।
সমাধানঃ
∴ A ∪ B={1,5,7} ∪ {1,3,5,9,15,45}={1,3,5,7,9,15,35,45}
A ∩ B={1,5,7} ∩ {1,3,5,9,15,45}={1,5}
১০. যে সকল স্বাভাবিক সংখ্যা দ্বারা 346 এবং 556 কে ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে 31 অবশিষ্ট থাকে, এদের সেট নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
মনে করি, 31অপেক্ষা বড় 315 এর গুণনীয়কগুলোর সেট A
B={35,75,105,175,525}
∴A ∩ B = {35,105,315} ∩ {35,75,105,175,525}={35,105}
১১. কোনো শ্রেণির 30 জন শিক্ষার্থীর মধ্যে 20 জন ফুটবল এবং 15 জন ক্রিকেট খেলা পছন্দ করে। দুটি খেলাই পছন্দ করে এরূপ শিক্ষার্থীর সংখ্যা 10। কতজন শিক্ষার্থী দুইটি খেলাই পছন্দ করে না তা ভেন চিত্রের সাহায্যে নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
ভেনচিত্রে, আয়তাকার ক্ষেত্রটি দ্বারা 30 জন শিক্ষার্থীর সেট S এবং পরস্পরছেদী দুইটি বৃত্ত ক্ষেত্র দ্বারা F ও C নির্দেশ করা হলো।
n(F)=20
n(C)=15
n(C ∩ F)=10
=n(S)-n(C ∪ F)
n(C ∪ F
=35-10
=25
∴ n(S)-n(C ∪ F)=30-25=5
∴কোনো খেলাই পছন্দ করে না এরুপ শিক্ষার্থীর সংখ্যা 5 জন।
১২. 100 জন শিক্ষার্থীর মধ্যে কোনো পরীক্ষায় 65 শিক্ষার্থী বাংলায়, 48 শিক্ষার্থী বাংলা ও ইংরেজি উভয় বিষয়ে পাশ এবং 15 শিক্ষার্থী উভয় বিষয়ে ফেল করেছে।
ক) সংক্ষিপ্ত বিবরণসহ ওপরের তথ্যগুলো ভেনচিত্রে প্রকাশ কর।
সমাধানঃ
বাংলায় পরীক্ষার্থীদের সেট B
ইংরেজিতে পরীক্ষার্থীদের সেট E
খ) শুধু বাংলায় ও ইংরেজিতে পাশ করেছে তাদের সংখ্যা নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
আবার,
বা, 85-65+48=n(E)
বা, n(E)=68
শুধু বাংলায় পাশ করেছে=n(B)-n(B ∩ E)=65-48=17
গ) উভয় বিষয়ে পাশ এবং উভয় বিষয়ে ফেল সংখ্যাদ্বয়ের মৌলিক গুণনীয়কসমূহের সেট দুইটির সংযোগ সেট নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
উভয় বিষয়ে ফেল শিক্ষার্থীর সংখ্যা 15=5✕3
এবং উভয় বিষয়ে ফেল শিক্ষার্থীর সংখ্যার মৌলিক গুণনীয়কের সেট N হলে,
M={2,3}
N={5,3}
তাহলে, MN={2,3}{5,3}={2,3,5}
অতএব, নির্ণেয় সেট {2,3,5}