SSC General Mathematics Chapter 16.4 Hand Note Part 2 || ৯ম ও ১০ম শ্রেণি গণিত
৯ম ও ১০ম শ্রেণির সাধারণত গণিত ১৬.৪ অধ্যায় এর হ্যান্ড নোট পার্ট = ২
১২. একটি দেওয়ালের দৈর্ঘ্য 25 মিটার, উচ্চতা 6 মিটার এবং পুরুত্ব 30 সেমি। একটি ইটের দৈর্ঘ্য 10 সেমি, প্রস্থ 5 সেমি এবং উচ্চতা 3 সেমি। দেয়ালটি ইট দিয়ে তৈরি করতে প্র্যোজনীয় ইটের সংখ্যা নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
দেওয়ালের দৈর্ঘ্য=25 মিটার=2500 সেমি
প্রস্থ=6 মিটার=600 সেমি
পুরুত্ব=30 সেমি
∴দেওয়ালটির আয়তন
=দৈর্ঘ্য✕প্রস্থ✕পুরুত্ব
=(2500✕600✕30) ঘন সেমি
=4500000 ঘন সেমি
আবার, একটি ইটের দৈর্ঘ্য=10 সেমি
প্রস্থ=5 সেমি
পুরুত্ব বা উচ্চতা =3 সেমি
ইটের আয়তন
=10✕5✕3 ঘন সেমি
=150 ঘন সেমি
∴দেওয়ালটি তৈরিতে ইট প্রয়োজন
4500000
=300000 টি
১৩. একটি ঘনক আকৃতির বস্তুর পৃষ্টতলের ক্ষেত্রফল 2400 বর্গ সেমি হলে, এর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?
সমাধানঃ
আমরা জানি,
ঘনকের দৈর্ঘ্য=প্রস্থ=উচ্চতা
ধরি, দৈর্ঘ্য=প্রস্থ=উচ্চতা=a
∴ ঘনক আকৃতির বস্তুর পৃষ্টতলের ক্ষেত্রফল
=2(a2+a2+b2)
=2.3a2
=6a2
প্রশ্নমতে,
6a2=2400
বা, a2=2400/6
বা, a2=400
বা, a=√400
বা, a=20
∴ঘনক আকৃতির বস্তুর কর্ণ
=√(a2+a2+a2)
=√(3a2)
=√(3.202)
=√(3.400)
=√1200
=34.641 সেমি (প্রায়)
১৪. 12 সেমি উচ্চতাবিশিষ্ট একটি বেলনের ভূমির ব্যাসার্ধ 5 সেমি। এর পৃষ্টতলের ক্ষেত্রফল ও আয়তন নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
মনে করি,
বেলনের ভূমির ব্যাসার্ধ r= 5 সেমি
এবং উচ্চতা h=12 সেমি
তাহলে, বেলনের সম্পুর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল
=2 π r(h+r)
=2✕3.1416✕5✕(12+5)
=2✕3.1416✕5✕17
=534.072 বর্গ সেমি।
এবং বেলনের আয়তন
= πr2h
=3.1416✕(5)2✕12
=3.1416✕25✕12
=942.48 ঘন সেমি
১৫. একটি বেলনের বক্রতলের ক্ষেত্রফল 100 বর্গসেমি এবং আয়তন 150 ঘন সেমি। বেলনের উচ্চতা এবং ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
মনে করি বেলনের ভূমির ব্যাসার্ধ r সেমি এবং উচ্চতা h সেমি
তাহলে,
বেলনের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 2πrh বর্গ সেমি
এবং বেলনের আয়তন = πr2h ঘন সেমি
প্রশ্নমতে,
πr2h=150……….(i)
এবং
2πrh=100
বা, πrh=50……….(ii)
(i) ÷(ii) করে পাই,
r=3
(ii) নং এ r এর মান বসিয়ে পাই,
π✕3✕h=50
বা, 3.1416✕3✕h=50
বা, 9.4248✕h=50
বা, h=50/9.4248
বা, h=5.3052 সেমি।
∴ বেলনের ব্যাসার্ধ = 3 সেমি
এবং বেলনের উচ্চতা = 5.3052 সেমি
১৬. একটি সমবৃত্তভূমিক সিলিন্ডারের ক্ষেত্রফল 4400 বর্গ সেমি। এর উচ্চতা 30 সেমি হলে সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
আমরা জানি,
সমবৃত্তভূমিক সিলিন্ডারের বক্রতলের ক্ষেত্রফল =2πrh; এখানে h=30=সমবৃত্তভূমিক সিলিন্ডারের উচ্চতা ও r=ভুমির ব্যাসার্ধ।
প্রশ্নমতে,
2πrh=4400
বা, 2✕3.1416✕r✕30=4400
বা, r✕188.496=4400
বা, r=4400/188.496
বা, r=23.3427 সেমি
আবার, সিলিন্ডারের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
=2πr(r+h)
=2✕3.1416✕23.3427(23.3427+30)
=2✕3.1416✕23.3427✕53.3427
=7823.6059 বর্গ সেমি।
∴সিলিন্ডারের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 7823.6059 বর্গ সেমি।
১৭. একটি লোহার পাইপের ভিতরের ও বাইরের ব্যাস যথাক্রমে 12 সেমি ও 14 সেমি এবং পাইপের উচ্চতা 5 মিটার। এক ঘন সেমি লোহার ওজন 7.2 গ্রাম হলে পাইপের লোহার ওজন নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
পাইপের উচ্চতা h=5 মিটার=500 সেমি
পাইপের বাইরের ব্যাস=14 সেমি
পাইপের বাইরের ব্যাসার্ধ r1=14/2 সেমি=7 সেমি
∴ পাইপের বাইরের আয়তন
=πr12h
=3.1416✕(7)2✕500
=76969.2 ঘন সেমি
আবার, পাইপের ভিতরের ব্যাস=12 সেমি
পাইপের ভিতরের ব্যাসার্ধ r2=12/2 সেমি=6 সেমি
∴ পাইপের ভিতরের আয়তন
=πr22h
=3.1416✕(6)2✕500
=56548.8 ঘন সেমি
∴ লোহার আয়তন
=76969.2 ঘন সেমি-56548.8 ঘন সেমি
=20420.4 ঘন সেমি।
এখন,
1 ঘন সেমি লোহার ওজন 7.2 গ্রাম
∴20420.4 ঘন সেমি লোহার ওজন =20420.4✕7.2 গ্রাম
=147026.88 গ্রাম
=147.02688 কিলোগ্রাম
∴ পাইপের লোহার ওজন=147.02688 কিলোগ্রাম
১৮. একটি আয়তাকারক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য12 মিটার এবং প্রস্থ 5 মিটার। আয়তাকারক্ষেত্রটিকে পরিবেষ্টিত করে একটি বৃত্তাকারক্ষেত্র আছে যেখানে আয়তাকারক্ষেত্র দ্বারা আনধিকৃত অংশে ঘাস লাগানো হলো।
ক) উপরের তথ্যের ভিত্তিতে সংক্ষিপ্ত বর্ণনাসহ চিত্র আঁক।
সমাধানঃ
মনে করি, ABCD একটি আয়তক্ষেত্র যার দৈর্ঘ্য 12 মিটার ও প্রস্থ 5 মিটার। এই আয়তক্ষেত্রটিকে পরিবেষ্টিত করে একটি বৃত্তাকার ক্ষেত্র আছে যার কেন্দ্র O. ABCD আয়তক্ষেত্রের কর্ণ হবে বৃত্তের ব্যাস। নির্ণেয় চিত্রটি হলোঃ
সমাধানঃ
ক এর বর্ণনা অনুসারে বৃত্তটির ব্যাস হলো বৃত্তে অন্তর্লিখিত আয়তক্ষেত্রের কর্ণ।
∴আয়তক্ষেত্রের কর্ণ
=√(দৈর্ঘ্য২+প্রস্থ২)
=√(122+52)
=√(144+25)
=√169
=13 মিটার।
∴বৃত্তটির ব্যাস 13 মিটার।
গ) প্রতি বর্গমিটার ঘাস লাগাতে 50 টাকা খরচ হলে মোট খরচ নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
বৃত্তটির ব্যাস=13 মিটার
∴বৃত্তের ব্যাসার্ধ r=13/2 মিটার=6.5 মিটার
∴বৃত্তের ক্ষেত্রফল
= πr2
=3.1416✕(6.5)2
=132.7326 বর্গ মি।
আবার,
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল
=দৈর্ঘ্য✕প্রস্থ
=12✕5
=60 বর্গ মিটার
∴ বৃত্তের অনাধিকৃত অংশের পরিমাণ
=132.7326-60
=72.7326 বর্গ মি
এখন,
1 বর্গ মিটার ঘাস লাগাতে খরচ হয় 50 টাকা
∴ 72.7326 বর্গ মিটার ঘাস লাগাতে খরচ হয় =72.7326✕50 টাকা
=3636.63 টাকা
∴মোট খরচ 3636.63 টাকা।
১৯. চিত্রটি বর্গক্ষেত্র ও বর্গকলায় বিভক্ত।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য a=12 cm
∴বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য
=√2a
=√2✕12
=16.971 cm
এবং বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা
=4a
=4✕12
=48 cm
খ) সম্পূর্ণ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
বৃত্তাংশের ব্যাসার্ধ r=AD=AE=12 cm
কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ θ=300
∴ADE বৃত্তাংশের ক্ষেত্রফল
θ
300
=37.6992 বর্গ সেমি
এবং বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল
=(AB)2
=(12)2
=144 বর্গ সেমি
∴ সম্পূর্ণ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল
=37.6992 বর্গ সেমি+144 বর্গ সেমি
=181.699 বর্গ সেমি।
গ) বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্যবিশিষ্ট কোনো সুষম ষড়ভূজ কোনো বৃত্তে অন্তর্লিখিত হলে বৃত্তের অনধিকৃত অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
সুষম ষড়ভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য, r=12 সেমি
এবং সুষম ষড়ভূজের বাহুর সংখ্যা, n=6
আমরা জানি,
সুষম ষড়ভূজের ক্ষেত্রফল
na2 1800
6✕(12)2 1800
=6✕36✕cot300
=6✕36✕√3
=374.122975 বর্গ সেমি
এখানে,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ=r=12 সেমি
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল
= π✕(12)2
=3.1416✕144
=452.3904 বর্গ সেমি
∴ বৃত্তের অনধিকৃত অংশের ক্ষেত্রফল
=452.3904 বর্গ সেমি-374.122975 বর্গ সেমি
=78.267425 বর্গ সেমি।